Selamat datang di KnK Land. Mari menguasai dunia bersama kami. Disini kalian bisa menemukan ratusan postingan berbahaya dari penulis-penulis kami. Selamat menikmati situs yang hidup ini.


Monday, January 25, 2021

Pertidaksamaan Tukar Menukar (Pembahasan Soal IMO Tahun 1975 Problem A1)

 


Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Di postingan ini, aye bakal ngebahas tentang salah satu soal IMO. Soal yang bakal aye bahas adalah soal IMO tahun 1975. Yap, soal jadul. Soal ini adalah soal pertidaksamaan bilangan riil. Langsung saja, kita lihat soalnya.


Problem A1


Let , and be real numbers. Prove that if is any permutation of the , then:

      .

 

Terjemahan:

 

Misalkan , dan aadalah bilangan-bilangan riil. Buktikan jika adalah sebarang permutasi dari , maka:

      .

 

Sebelum menjawab atau membuktikan, mari kita tinjau beberapa contoh sederhana, misal untuk n = 2, n = 3, dan n = 4. Bagi kalian yang tidak perlu atau ingin melihat contoh, kalian bisa skip ke bagian solusi.


Contoh untuk n = 2


Misalkan , maka kita akan peroleh permutasi-permutasi dari adalah

dan

.

Jadi, hanya ada dua kemungkinan permutasi. Untuk permutasi yang merah, jelas


Adapun, untuk permutasi yang biru, perhatikan bahwa



Sedangkan,


 

 

 

Perhatikan, jelas bahwa

 

 

Lanjut, ke contoh untuk n = 3


Contoh untuk n = 3


Misalkan , maka terdapat 3! = 6 cara untuk menentukan . Misalkan . Diperoleh

 


Sedangkan,


.


Jadi,

.


Lanjut, ke contoh terakhir, untuk n = 4.


Contoh untuk n = 4


Misalkan , dan . Selanjutnya, misalkan permutasinya adalah . Diperoleh


   (silakan hitung sendiri), sedangkan



Jadi, jelas bahwa


 

Nah, seperti itulah contoh-contohnya. Mari kita lanjut ke solusi.


Solusi


Sebelum meninjau secara umum untuk sebanyak n suku, kita tinjau terlebih dahulu untuk jumlahan 2 suku. Perhatikan bahwa, untuk dan , berlaku


.


Adapun, buktinya adalah sebagai berikut.


Bukti:

Mengingat , maka adalah bilangan non-negatif. Mengalikan ke pertidaksamaan tidak merubah tanda, sehingga diperoleh


 

Bongkar-bongkar

 


 

Pindah-pindahin


 

 Kalikan 2 > 0


Tambahkan kedua ruas diperoleh


 

 Pindah-pindahin dengan sifat komutatif, kumpulin yang sama



Perhatikan bahwa terbentuk kuadrat-kuadrat sempurna




 Tinggal difaktorin deh, nanti dapet


 

Nah, terbukti, kan?

 

Nah, dengan lemma ini, kita bisa membuktikan secara umum untuk n suku. Misalkan , dan aadalah bilangan-bilangan riil. Misalkan pula adalah sebarang permutasi dari , tinjau jumlahan berikut. 

 

 

Jika untuk suatu  berlaku , maka dengan lemma yang sudah dibuktikan di atas, apabila dan ditukar pada jumlahan tersebut, nilai jumlahan tersebut akan berkurang atau sama. Dengan demikian, apabila urutan dari dikembalikan menjadi maka nilai jumlahan akan terus mengecil dengan aturan penukaran: ditukar ke urutan pertama menggantikan , lanjut ke di urutan kedua, dan seterusnya. Setiap penukaran dapat mengecilkan nilai jumlahan. Dengan demikian terbukti bahwa


.



Baiklah, sekian postingan dari aye. Semoga bermanfaat dan semoga bisa paham. Kalo ada tambahan, koreksi, atau pertanyaan silakan sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~

No comments:

Post a Comment