Titik Kondensasi Himpunan dalam Analisis Riil

by Admin K on Sunday, January 10, 2021 in Matematikamampus

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Di postingan kali ini kita akan membahas lagi tentang matematika. Topik kali ini adalah topik analisis riil. Disini aye bakal ngebahas tentang titik kondensasi dari himpunan (subhimpunan himpunan bilangan riil). ~~Mendengar~~ melihat kata kondensasi, mungkin kalian bertanya-tanya, apa itu kondensasi? Bagi kalian yang sudah belajar-belajar fisika, mungkin kalian tau apa itu kondensasi. Yap, menurut fisika kondensasi adalah pengembunan, yakni perubahan zat gas menjadi cair. Lalu, apa itu kondensasi dalam matematika khususnya dalam analisis riil? Apakah ada hubungannya dengan kondensasi dalam fisika? Hmm, mungkin ada hubungannya dikit. Baiklah, langsung aja kita menyimak terlebih dahulu contoh di bawah ini.

Sebelum membaca postingan ini, alangkah baiknya kalian sudah mempelajari sedikit tentang analisis riil misal mengenai konsep persekitaran/lingkungan/neighborhood. Selain itu, konsep teori himpunan juga harus didalami terutama mengenai operasi serta kardinalitas. Nah, mari kita mulai.

Pertama-tama, mari kita menyimak contoh himpunan di bawah ini.

$A=\left \{ x\in \mathbb{R} | 1 < x < 2\: \text{atau}\: x \in\mathbb{N} \right \}$

Perhatikan himpunan tersebut. Himpunan tersebut adalah gabungan himpunan bilangan asli dan interval antara 1 dan 2 sehingga bisa juga ditulis sebagai berikut.

$A=\mathbb{N}\cup (1,2)$

Sekarang, coba kita gambar himpunan tersebut dalam garis bilangan.

Hmm, apa intuisi yang bisa kita dapat dari sini? Coba perhatikan dari kanan ke kiri (menuju titik $x=1$ ), amati titik-titik birunya tampak seolah-olah titik-titik birunya semakin memadat kayak mengembun gitu deh. Nah, perhatikan persekitaran dari $x=1$ . Setiap persekitarannya jika diiris dengan himpunan $A$ maka hasil irisannya adalah himpunan tak berhingga yang juga merupakan himpunan tak terhitung (uncountable infinite) berarti di sekitar $x=1$ lah titik-titik pada himpunan $A$ berkumpul dan memadat seolah-olah mirip gas yang mengembun menjadi zat cair di sekitar titik tersebut.

Nah, mari kita definisikan titik kondensasi dari suatu himpunan yang merupakan subhimpunan dari himpunan $\mathbb{R}$ .

Definisi titik kondensasi:

Suatu titik $c\in\mathbb{R}$ disebut titik kondensasi dari himpunan $T\subseteq \mathbb{R}$ apabila untuk setiap persekitaran/neighborhood $V_\varepsilon (c)=(c-\varepsilon ,c+\varepsilon )$ , $V_\varepsilon (c)\cap T$ adalah himpunan tak terhitung (jelas tak berhingga).

Nah, simak baik-baik definisi tersebut. Simak, hayati, dalami, pahami, eksplorasi dan carilah contohnya. Perhatikan pula bahwa ternyata titik kondensasi juga adalah titik limit/cluster (bisa kalian buktikan). Di postingan kali ini, aye hanya memberikan satu contoh saja yakni contoh di atas. Mungkin contoh yang lainnya akan aye di postingan lain. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~