Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Kali ini aye akan membahas salah satu materi penting dalam aljabar linier yakni tentang nilai eigen dan vektor eigen? Apa itu nilai eigen dan apa itu vektor eigen? Mari kita bahas yach, cekidoot.

Pengantar

Dalam aljabar linier, matriks merupakan representasi dari transformasi linier dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain. Kalo kita menyimak dengan baik, ada kalanya suatu matriks saat dikalikan dengan suatu vektor maka hasilnya adalah kelipatan dari vektor tersebut. Sebagai contoh, perhatikan perkalian matriks berikut.

$\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 \\ 18 \end{pmatrix}=6\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

Nah, kalau dipikir-pikir, nampaknya yah si matriks ini, yakni $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ kayak memperpanjang/memperpendek vektor atau bisa disebut dilatasi. Ini adalah sifat yang sangat 1-dimensional. Perhatikan juga bahwa selain vektor $\begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$ , si matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ ini juga mendilatasi vektor-vektor yang merupakan kelipatan dari $\begin{pmatrix} 3\\ 3 \end{pmatrix}$ atau dengan kata lain semua vektor yang berbentuk $\begin{pmatrix} k\\ k \end{pmatrix}$ . Selain dapat ditunjukkan secara aljabar, kita bisa memandang bahwa pengalian vektor dengan suatu matriks adalah merupakan transformasi linier sehingga jika suatu vektor dikalikan dengan skalar maka hasil transformasinya adalah hasil transformasi si vektor dikalikan dengan si skalar tadi. Nah, semua vektor yang berbentuk $\begin{pmatrix} k\\ k \end{pmatrix}$ kita sebut sebagai vektor eigen dari matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .

Apakah ada matriks lain selain yang bentuknya $\begin{pmatrix} k\\ k \end{pmatrix}$ sehingga dapat didilatasi oleh matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ ? Yap, ada. Coba perhatikan vektor $\begin{pmatrix} -5\\ 5 \end{pmatrix}$ . Vektor ini juga didilatasi oleh matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .

$\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5\\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10\\ -10 \end{pmatrix} = -2 \begin{pmatrix} -5\\ 5 \end{pmatrix}$ .

Nah, perhatikan bahwa si matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ mendilatasi $\begin{pmatrix} -5\\ 5 \end{pmatrix}$ denan faktor skalar -2. Selain itu, faktanya semua vektor kelipatan $\begin{pmatrix} -5\\ 5 \end{pmatrix}$ yakni yang berbentuk $\begin{pmatrix} k\\ -k \end{pmatrix}$ akan didilatasi oleh matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ dengan faktor skalar -2. Hal yang sama juga untuk kumpulan vektor berbentuk $\begin{pmatrix} k\\ k \end{pmatrix}$ yang telah dibahas di atas, semuanya didilatasi dengan faktor skalar 6. Kedua faktor skalar inilah yang kita sebut sebagai nilai eigen. Jadi, kita katakan -2 dan 6 adalah nilai eigen dari matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ .

Apakah ada vektor yang berbentuk lain dan dapat didilatasi oleh matriks $\begin{pmatrix} 2 & 4\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$ ? Jawabannya adalah tidak ada. Buktinya mungkin bakal aye posting lain kali. Jadi, kalian bisa cari-cari dulu di buku atau di Google ya, hehe.

Definisi

Oke, mari kita formalkan definisi dari vektor eigen dan nilai eigen. Misalkan $A$ adalah matriks berukuran $n\times n$ (ya, tentu saja harus $n\times n$ sebab kelipatan dari vektor harus berada di ruang yang sama). Jika ada vektor taknol $v$ dan skalar $\lambda$ sehingga $Av = \lambda v$ maka $\lambda$ disebut sebagai nilai eigen dari $A$ dan $v$ adalah vektor eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan nilai eigen $\lambda$ .

Oh yah, mungkin kalian bertanya2, min kok vektornya gak boleh nol? Ya, kalian tahulah perkalian matriks dengan vektor nol (tentu saja ukurannya harus kompatibel) hasilnya adalah 0. Vektor 0 tidak kita masukkan ke dalam definisi vektor eigen karena "nilai eigen"nya bisa berapapun yang kita mau.

Cara Mencari Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Nah, sekarang mungkin kalian bertanya-tanya lagi nih gimana sih cara mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks?

Katakanlah kita punya matriks persegi $A$ dengan vektor eigen $v$ dengan nilai eigen yang bersesuaian $\lambda$ maka ketiganya akan memenuhi persamaan

$Av = \lambda v$

atau

$Av = \lambda Iv$

$\Rightarrow Av = \lambda Iv$

$\Rightarrow Av - \lambda Iv = 0 $

$\Rightarrow \left(A - \lambda I\right)v = 0 $

dengan $I$ adalah matriks identitas seukuran dengan $A$. Karena $v$ tidak nol maka matriks $A - \lambda I$ harus punya determinan 0. Nanti diperoleh $\det \left(A - \lambda I \right)$ adalah polinomial dengan variabel $\lambda$. Tinggal cari semua solusi dari

$\det \left(A - \lambda I \right) = 0$ maka kita akan memperoleh semua kemungkinan nilai eigen $\lambda$ dari $A$ 😁.

Selanjutnya, ingat di pengantar awal aljabar linier, jika suatu matriks persegi $B$ punya determinan 0, maka $Bv = 0$ akan punya sebanyak tak hingga solusi vektor $v$ termasuk vektor yang taknol. Dengan demikian, kalau kita misalkan $B = A -\lambda I$ yang punya determinan 0 maka akan selalu ada vektor taknol $v$ sehingga $Bv = \left(A-\lambda I\right)v = 0$ atau $Av = \lambda Iv = \lambda v$. Dengan demikian, jika \lambda adalah akar dari $\det \left(A - \lambda I \right) = 0$ maka \lambda juga merupakan nilai eigen dari $A$. Jadi, semua akar-akarnya adalah nilai eigen. Persamaan $\det \left(A - \lambda I \right) = 0$ kita sebut sebagai persamaan karakteristik dari $A$ 👌 sementara polinomial $P(\lambda ) = \det \left(A - \lambda I \right)$ kita sebut polinomial karakteristik dari $A$.

Nah, kita sudah tahu cara mencari nilai eigen dari matriks persegi yakni dengan mencari semua solusi dari persamaan karakteristiknya. Selanjutnya, pertanyaaan terakhir adalah gimana sih cara mencari vektor eigen? Tentu sangat mudah, tinggal selesaikan saja SPL $\left(A - \lambda I\right)v = 0 $. Ini bisa dilakukan dengan eleminasi Gauss atau metode lain yang kalian suka 😃. Aye anggap yang baca ini udah tahu deh cara menyelesaikan SPL.

Contoh

Sebagai contoh, anggaplah kita gak tahu nilai eigen dan vektor eigen dari matriks $A=\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}$. Kita misalkan $v$ adalah vektor eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan nilai eigan $\lambda$, maka kita peroleh $Av = \lambda v$

$\Rightarrow \left(A - \lambda I\right)v = 0$

$\Rightarrow \left(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)v = 0$

$\Rightarrow \left(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}\right)v = 0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} 2-\lambda & 4 \\ 4 & 2-\lambda \end{pmatrix} v = 0$

Karena $v$ tidak nol maka haruslah $\det \begin{pmatrix} 2-\lambda & 4 \\ 4 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0$.

Diperoleh

$(2-\lambda)(2-\lambda) - 4\cdot 4 = 0$

$\Rightarrow (2-\lambda)^2 - 4\cdot 4 = 0$

$\Rightarrow (2-\lambda)^2 - 16 = 0$

$\Rightarrow (2-\lambda)^2 = 16$

$\Rightarrow \lambda - 2 = \pm 4$

$\Rightarrow \lambda = 2 + \pm 4$

Diperoleh kedua nilai eigennya adalah $\lambda_1 = 2 - 4 = -2$ dan $\lambda_2 = 2 + 4 = 6$.

Selanjutnya, kita cari vektor-vektor eigennya untuk masing-masing nilai eigen.

Untuk $\lambda_1 = -2$, misal vektor eigennya adalah $v_1=\begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}$ maka diperoleh

$Av_1 = -2v_1$

$\Rightarrow \left(A + 2I\right)v_1 = 0$

$\Rightarrow \left(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}+ 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)v_1 = 0$

$\Rightarrow \left(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\right)v_1 = 0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}v_1 = 0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = 0$

Lakukan Eliminasi Gauss diperoleh

$\begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = 0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} = 0$

$\Rightarrow x_1 + y_1 = 0$

$\Rightarrow x_1 = -y_1$

Jika dimisalkan $y_1 = t$ maka $x_1 = -t$. Jadi, diperoleh semua vektor eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan nilai eigen $\lambda_1 = -2$ adalah semua vektor yang berbentuk $\begin{pmatrix} -t \\ t \end{pmatrix}$ dengan bilangan riil $t \neq 0$.

Dengan cara yang serupa, untuk $\lambda_2 = 6$, misal vektor eigennya adalah $v_2=\begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}$ maka diperoleh

$Av_2 = -2v_2$

$\Rightarrow \left(A + 2I\right)v_2 = 0$

$\Rightarrow \left(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}+ 6\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)v_2 = 0$

$\Rightarrow \left(\begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6 \end{pmatrix}\right)v_2 = 0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}v_2 = 0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = 0$

Lakukan Eliminasi Gauss diperoleh

$\begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = 0$

$\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} = 0$

$\Rightarrow x_2 - y_2 = 0$

$\Rightarrow x_2 = -y_2$

Jika dimisalkan $y_2 = t$ maka $x_2 = t$. Jadi, diperoleh semua vektor eigen dari $A$ yang bersesuaian dengan nilai eigen $\lambda_2 = 6$ adalah semua vektor yang berbentuk $\begin{pmatrix} t \\ t \end{pmatrix}$ dengan bilangan riil $t \neq 0$.

Nah, itulah sedikit mengenai nilai eigen dan vektor eigen. Kalian bisa juga coba untuk matris $3 \times 3$ atau ukuran yang lebih besar tapi tantangannya nanti polinomial karakteristiknya punya derajat yang besar dan semakin sulit untuk dicari nilai eigennya. Mungkin aye bakalan kasih contoh mudah untuk matriks ukuran besar lain kali. Selain itu, mungkin kalian bertanya-tanya apa sih gunanya vektor eigen dan nilai eigen? Nah, ini juga mungkin bakal aye posting lain kali. Okey, sekian postingan kali ini. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~~~✋✋