Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Di postingan kali ini aye akan membahas salah satu teorema yang terkenal dalam aljabar terutama teorema tentang bilangan kompleks. Teorema ini bernama Teorema Fundamental Aljabar atau Teorema Dasar Aljabar (Fundamental Theorem of Algebra).
Pada zaman dahulu kala, manusia sudah mengenal yang namanya berhitung, mulai dari 1, 2, 3, dst. Manusia juga sudah mengembangkan operasi seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, serta pembagian. Namun, tak lama kemudian, manusia mulai perhatian terhadap pemecahan persamaan yang memuat suatu unsur yang tidak diketahui. Teorema Fundamental Aljabar adalah teorema yang berbicara tentang penyelesaian persamaan. Teorema ini menyatakan bahwa setiap persamaan polinomial atas lapangan bilangan kompleks yang mempunyai derajat lebih dari 1 mempunyai solusi kompleks. Persamaan polinomial adalah persamaan yang berbentuk
,
dengan taknol, yang dalam hal ini
adalah derajat dari polinomial
dari persamaan di atas. Semua
adalah koefisien-koefisien yang diketahui sedangkan
adalah suatu bilangan yang tak diketahui. Suatu bilangan
disebut solusi dari persamaan
apabila jika disubstitusikan atau diganti
menjadi
maka persamaan bernilai benar atau terpenuhi, yakni:
. Koefisien-koefisiennya diasumsikan ada di dalam himpunan bilangan tertentu yang juga tempat kita mencari solusi. Bentuk polinomial tersebut adalah bentuk yang umum dan sering dianggap bentuk baku tapi biasanya bentuk
lebih mudah untuk dipelajari.
Untuk melihat bagaimana ini bekerja, kita mulai dari bilangan-bilangan asli (himpunan yang memuat 1, 2, 3, dst) dan persamaan yang paling sederhana yakni
. Sebagai contoh,
mempunyai solusi
. Juga,
mempunyai solusi
. Lebih jauh lagi,
mempunyai solusi
. Eits, ada masalah. Apa bilangan asli yang merupakan hasil dari
? Tidak ada bilangan asli yang jika ditambahkan
menghasilkan
. Kita katakan himpunan bilangan asli tidak tertutup secara aljabar (not algebraically closed) sebab terdapat polinomial yang derajatnya lebih dari satu dengan koefisien bilangan asli tapi tidak mempunyai solusi bilangan asli. Oleh karena itu, kemunculan bilangan negatif memudahkan masalah tersebut:
Setiap persamaan dengan
mempunyai solusi
, dengan
adalah himpunan bilangan bulat (terdiri atas bilangan positif, negatif, serta nol).
Sebenarnya, lebih jauh lagi, kita bisa memperumum lagi. Kita juga bisa menerima koefisien yang negatif, dengan demikian kita akan memperoleh hasil yang lebih umum atau lebih kuat:
Setiap persamaan \(x+a=b\) dengan \(a,b\in\mathbb{Z}\) mempunyai solusi \(x\in\mathbb{Z}\).
Jadi, walaupun koefisiennya bernilai negatif, persamaannya masih bisa punya solusi di \(\mathbb{Z}\). Selanjutnya, perhatikan persamaan-persamaan berikut yang koefisiennya atas \(\mathbb{Z}\): \(5x-10=0\) punya solusi \(x=\frac{10}{5}=2\). Juga, \(11x+132=0\) masih punya solusi \(x=-\frac{132}{11}=-12\). Solusinya masih bulat. Namun, perhatikan lebih jauh persamaan \(5x-11=0\) punya solusi \(x=\frac{11}{5}=\color{Red} ?\). Lihat, terjadi lagi. Apakah ada bilangan bulat yang dikali 5 hasilnya 11? Tentu saja tidak, jadi \(\mathbb{Z}\) juga tidak tertutup secara aljabar. Mungkin dengan memunculkan bilangan rasional (di \(\mathbb{Q}\)), tampaknya kita bisa menyelesaikan masalah ini:
Setiap persamaan \(ax+b=0\) dengan \(a,b\in\mathbb{Z}\) punya solusi \(x\in\mathbb{Q}\).
Lebih lanjut, kita peroleh hasil yang lebih kuat:
Setiap persamaan \(ax+b=0\) dengan \(a,b\in\mathbb{Q}\) punya solusi \(x\in\mathbb{Q}\).
Jadi, walaupun kita punya koefisien rasional, kita bisa peroleh solusi rasional. Namun, masih saja \(mathbb{Q}\) belum tertutup secara aljabar. Masih ada persamaan polinomial dengan koefisien rasional (contohnya \(x^2 = 2\)) yang tidak punya solusi rasional. Dari sini kita butuh himpunan seluruh bilangna riil \(R\). \(R\) adalah lapangan yang besar tapi masih belum tertutup secara aljabar karena masih ada persamaan sederhana seperti \(x^2+1=0\) yang punya koefisien riil tapi tidak punya solusi bilangan riil. Jadi, pada akhirnya kita perkenalkan lapangan bilangan kompleks \(\mathbb{C}\). Diekspektasikan semua persamaan polinomial dengan koefisein riil selalu punya solusi kompleks. Ternyata ini memang benar. Bahkan Teorema Fundamental Aljabar menyatakan lebih dari itu. Hal ini menunjukkan bahwa ketekunan kita membuahkan hasil yang sangat memuaskan. Ternyata, bukan hanya persamaan dengan koefisien riil yang memiliki solusi kompleks. Setiap persamaan polinomial dengan koefisien kompleks memiliki setidaknya satu solusi kompleks. Dengan kata lain, lapangan bilangan kompleks bersifat tertutup secara aljabar!
Akhirnya! Bilangan-bilangan kompleks sudah benar-benar sempurna untuk menyelesaikan persamaan (polinomial).
Postingan ini adalah hasil terjemahan (saduran) dari:
https://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fundamental2.shtml
Silakan baca lebih lanjut mengenai Teorema Fundamental Aljabar, buktinya dan pembahasan lebih dalam di link tersebut. Cukup sekian postingan kali ini. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Babayy~~ 😄
No comments:
Post a Comment