Mungkinkah Matematika tidak konsisten ?

DIsclaimer : Aye bukan ahlinya, kalau ada yang silakan beritahu saya di kolom komenar.

    Pada kisaran tahun 1900, Hilbert merencanakan program paling ambisius dalam sejarah matematika yang dinamai sebagai Hilbert Programme, yang mempunyai program kerja untuk mendasarkan matematika yang konsisten dan lengkap ada koleksi pernyataan yang elegan dan self-evident, dan dengan menggunakan kaidah penalaran yang berdasarkan koleksi tersebut, diharapkan semua statemen dalam matematika dapat dibuktikan ( salah dan benar ). 

Maka, Pada tahun 1908. Berbekal Paradoks Berry bahwa bahasa dapat menciptakan ambiguitas maka pentingnya memakai bahasa formal dan Paradoks Russel bahwa tidak semua koleksi yang terdefinisi adalah himpunan. Ernst Zermelo dan Abraham Fraenkel menciptakan sebuah sistem aksiomatik yang ia namai sebagai Teori Himpunan Zermelo - Fraenkel yang terdiri dari 9 aksioma. Inilah Fondasi Matematika yang dipercayai dapat menjawab Hilbert Programme dan merupakan kanon yang masih digunakan sampai sekarang ( inilah 10 Perintah tuhan versi Matematika, Apakah ini adalah wahyu yang diturunkan ? ).

Sayangnya, Pada tahun 1931. Kurt Friedrich Godel menerbitkan Teorema yang membuat harapan Hilbert mustahil terwujud. Teorema ini disebut sebagai Teorema Ketidaklengkapan Godel yang berbunyi :

" Setiap sistem formal konsisten F yang dapat melakukan aritmetika adalah tidak lengkap, yang berarti terdapat statemen dari sistem F yang tidak dapat dibuktikan bernar dan salah "

Teorema ini memberikan dua pilihan : Tinggalkan konsistensi atau ketidaklengkapan. Tentu karena alasan bahwa jika konsistensi ditinggalkan maka akan tercipta kontradiksi yang berujung prinsip ledakan. Prinsip ledakan dengan bahaya inkoherensi ( semua dapat dibuktikan benar ) dapat menghancurkan Matematika itu sendiri. Maka akan benar bahwa 1+1= 4. Tentu benar, ini merupakan anggapan kubu klasik bahwa kontradiksi akan menyebabkan prinsip ledakan.

Bereda dengan tadi, Dialetheis tidak mempercayai bahwa prinsip ledakan itu benar-benar valid, Jika saya di bandung dan saya tidak di bandung itu benar maka apakah berarti ini dapat membuktikan bahwa tuhan itu ada?. Tentu , Dialetheis akan menjawab tidak. Untuk menolak prinsip ledakan maka ada beberapa yang mengajukan bahwa setidaknya salah satu aturan disjungsi dasar ( P : P v Q dan A v P, A : P ) haruslah salah. Banyak sistem logika yang mengembangkan ini tapi mana yang cocok?. pertanyaan ini masih belum terjawab.

Tentu menerapkan sistem logika ini ke dalam matematika berarti menghilangkan pembuktian Reductio ad absurdum yang mana merupakan senjata paling ampuh matematikawan. Bukan yang berkontradiksi yang tertolak melainkan yang trivial atau menyebabkan inkoheren.

Jadi, Bagaimana pendapat kalian? Setuju atau tidak setuju?