Contoh Soal Definit Positif dan Definit Negatif Fungsi Kuadrat

 

Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Ini adalah postingan lanjutan dari postingan sebelumnya tentang pengertian definit positif dan negatif dari fungsi kuadrat serta syaratnya kapan bisa menjadi definit positif atau negatif. Nah, karena ada rikues dari komentar, di postingan kali ini, aye bakal memberikan dua contoh soal tentang topik ini yakni mengenai definit positif dan negatif dari fungsi kuadrat. Baiklah, daripada lama-lama, mending kita mulai dari soal yang pertama.

Soal 1

Misalkan n adalah bilangan riil sehingga untuk setiap bilangan riil x berlaku:
(n + 1)x² - (4n - 2)x + 3 > 0.

Bilangan riil n berapa sajakah yang memenuhi?

Jawab

Ini adalah pertanyaan yang menanyakan kapan fungsi

f(x) = (n + 1)x² - (4n - 2)x + 3 definit positif. 

Agar f definit positif maka syaratnya adalah koefisien dari x² haruslah positif serta diskriminannya harus negatif. 

Diperoleh koefisien dari x² adalah

n + 1 > 0, sehingga n > -1.

Selain itu diskrimannya harus negatif. Diskriminannya adalah

(4n - 2)² - 4(n + 1)3 = 16n² - 16n + 4 - 12n - 12 = 16n² - 28n - 8 < 0

Selanjutnya diperoleh

4n² - 7n - 2 < 0

(n - 2)(4n + 1) < 0.

Akhirnya diperoleh

-1/4 < n < 2.

Jadi, syarat cukup dan perlu sehingga fungsi f definit positif adalah n > -1 dan -1/4 < n < 2 dengan irisannya adalah -1/4 < n < 2. Jadi, jawabannya adalah semua bilangan riil n sehingga -1/4 < n < 2.

Soal 2

Buktikan bahwa 

-120x² + 2x - 3 negatif untuk setiap bilangan riil x.

Jawab

Cukup dengan menunjukkan diskriminan dari fungsi kuadrat f(x) = -120x² + 2x - 3 negatif maka kita bisa buktikan f itu definit negatif atau dengan kata lain -120x² + 2x - 3 negatif untuk setiap bilangan riil x. Perhatikan bahwa koefisien x² yakni -120 sudah bernilai negatif sehingga cukup cek diskriminan.

Diperoleh diskriminannya adalah

D = 2² - 4(-120)(-3) = 4 - 4(120)(3) < 0.

Jadi, diperoleh f definit negatif. Dengan demikian terbukti bahwa f(x) = -120x² + 2x - 3 < 0 untuk setiap bilangan riil x.