Hai hai semua ^_^ aye Admin K dan kembali lagi di sini ngebahas soal matematika. Kali ini kita akan ngebuktiin salah satu ketaksamaan yakni
\( \sqrt{1 + x^2 } \leq e^{x^2} \).
Kita akan tunjukkan ketaksamaan ini berlaku untuk setiap \( x \in \mathbb{R} \).
Sebelum kita membuktikan ini, kita harus sepakati dulu definisi dari \(e^x\) yang digunakan. Kita gunakan definisi eksponen menggunakan deret pangkat berikut untuk setiap \(x \in \mathbb{R}\).
\( e^x = \sum_{i=n}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \).
Dengan mengganti \(x\) menjadi \(x^2\), diperoleh
\(e^{x^2} = \sum_{i=n}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!}\)
Perhatikan, bahwa suku-suku dari deret tersebut bernilai nonnegatif. Dengan demikian, deret tersebut monoton naik sehingga limitnya lebih besar dari jumlahan parsialnya. Berarti diperoleh
\(e^{x^2} = \sum_{i=n}^{\infty} \frac{x^{2n}}{n!} = 1 + x^2 + \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{3!} + \cdots > 1 + x^2\).
Perhatikan bahwa karena \(1 + x^2 \geq 1\) maka diperoleh
\(1 + x^2 \geq \sqrt{1+x^2}\).
Akhirnya, karena \(e^{x^2} > 1 + x^2\) dan \(1 + x^2 \geq \sqrt{1+x^2}\) maka terbukti bahwa
\(e^{x^2} \geq \sqrt{1+x^2}\).
Selesai~~
Kalian bisa melihat langsung dengan Desmos kalau kurva \(y = e^{x^2}\) berada di atas kurva \(y= \sqrt{1+x^2}\).
Nah, itulah post singkat pembuktian salah satu ketaksamaan sederhana. Cukup sekian postingan dari aye. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~~
No comments:
Post a Comment