Selamat datang di KnK Land. Mari menguasai dunia bersama kami. Disini kalian bisa menemukan ratusan postingan berbahaya dari penulis-penulis kami. Selamat menikmati situs yang hidup ini.


Monday, February 1, 2021

Aplikasi Turunan Untuk Mencari Nilai Terkecil (Pembahasan Soal AHSME Tahun 1983 Problem 21)

 


Hai hai semua ^_^ Aye Admin K. Di postingan ini, aye bakal ngebahas lagi soal matematika. Soal yang aye bahas di post ini adalah salah satu soal AHSME tahun 1983. Soal ini adalah soal mencari bilangan terkecil yang bisa diselesaikan dengan berbagai cara yang salah satunya adalah menggunakan turunan. Langsung saja, kita lihat soalnya. 


Problem 21


Find the smallest positive number from the numbers below. 


(A)    (B)    (C)    (D)    (E)

 

Terjemahan 

 

Carilah bilangan positif terkecil dari bilangan-bilangan berikut. 


(A)    (B)    (C)    (D)    (E)


Solusi


Perhatikan soal baik-baik. Soal menyuruh untuk mencari bilangan positif. Dengan demikian, kita harus cek apakah ada bilangan negatif atau 0 di opsi (tidak ada 0 di opsi). Perhatikan opsi (A) adalah negatif dari opsi (B). Berarti, salah satu dari (A) atau (B) adalah bilangan negatif. Mari kita tinjau satu persatu.


Untuk opsi (A), karena yang merah lebih besar daripada yang biru. Itu artinya opsi (A) adalah salah satu kandidat jawaban. Untuk opsi berikutnya:


(B) 


(C) 


(D)


(E)


Jelas bahwa, kandidat jawaban di antara (A) atau (D). Selanjutnya, tinggal dibandingkan, mana yang lebih kecil, apakah atau . Ada beberapa cara yang bisa digunakan. Salah satunya adalah dengen memanfaatkan turunan fungsi. Bagaimana caranya? Perhatikan kembali kedua kandidat jawaban yang bisa ditulis kembali sebagai berikut.


(A)


(D)

 

Tampak bahwa kedua jawaban mengikuti pola fungsi . Kita bisa meninjau naik turunnya fungsi tersebut dengan menggunakan turunan. Turunan dari fungsi tersebut adalah


 

 .

 

Dengan menggunakan power rule (aturan pangkat) dan chain rule (aturan rantai), diperoleh


 


 

 

 

 

Samakan penyebut dengan mengalikan dan masing-masing pada pembilang dan penyebut berturut-turut pada suku pertama dan kedua.

 

 

 

 

Nah, perhatikan bahwa untuk , selalu berlaku   sehingga . Selain itu, berlaku pula dan (ingat nilai akar non-negatif). Dengan demikian, saat , pembilang dari bernilai negatif dan penyebutnya bernilai positif. Walhasil, bernilai negatif. Ini menunjukkan bahwa adalah fungsi monoton turun (tegas) saat

 

Akhirnya, karena , mengingat fungsi turun, maka atau . Dengan kata lain, (yakni, jawaban (D)) lebih kecil dari (jawaban (A)). Jadi, dapat disimpulkan bahwa jawaban dari soal adalah (D) sebab adalah bilangan positif yang terkecil.


Eitss, gak harus pake turunan lho. Masih ada cara lain.


Solusi Alternatif


Perhatikan bahwa

 

 

 

Kalikan, bagian pembilang (bisa menggunakan rumus beda kuadrat)


.

 

Dengan cara yang serupa, diperoleh juga


 

Perhatikan bahwa penyebut lebih besar dari penyebut . Dengan demikian atau dengan kata lain, kesimpulannya sama seperti solusi menggunakan turunan sebelumnya yakni . Cara kedua selesai, terbukti lagi bahwa jawaban (D) benar. Satu masalah, punya banyak solusi. Kalian bisa memilih solusi mana yang kalian suka tergantung selera.

 

Jadi, gimana? Fun dan emejing, bukan? Solusi mana yang kalian suka? Semoga bermanfaat dan semoga kalian enjoy. Kalo ada komentar, tanggapan, koreksi, pertanyaan, atau mungkin ada cara lain, silakan sampaikan di kolom komentar. Sampai jumpa di postingan selanjutnya. Bye~

No comments:

Post a Comment